Si eres ordenado, pon una matriz en tu vida

A algunos de vosotros lo mismo la palabra matriz os suena un poco a chino, pero os aseguro que es un elemento matemático que tenéis delante de vuestras narices todos los días, sin ir más lejos, un calendario: 

Ahí tenéis el mes de agosto que se acaba hoy (para los que leáis el artículo el día de su publicación), que no es más que una distribución numérica en filas y columnas. En este caso las filas indican el número de semanas que llevamos de 2025 y las columnas el día de dichas semanas. De esta manera si nos fijamos en el día 15 que por cierto está en rojo, podemos decir de un solo vistazo que cayó en viernes y pertenecía a la semana 32 de este año. El color, en este caso, nos indica otra característica, ser un día festivo (rojo) o no (negro), pero eso por ahora lo vamos a dejar. 

Ya nos podemos hacer una idea de la utilidad que se le da a estas tablas numéricas llamadas, como hemos dicho anteriormente, matrices, que digo yo que se las inventaría algún matemático ordenadito, porque ese es su cometido fundamental, ordenar la información. 

Una vez situados, vamos a definirlas formalmente, sé que es la parte más rollo, pero es necesaria. En matemáticas, una matriz es un conjunto bidimensional de números ordenados en filas y columnas. 

Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula y sus elementos con la misma letra en minúscula con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Pero esto se ve mejor con un pequeño ejemplo. Supongamos que somos los dueños de dos tiendas de ropa en una ciudad.

A es una matriz que representa las ventas en un día concreto formada por 2 filas y 3 columnas. Cada fila representa una tienda y cada columna un producto (camisetas, pantalones, zapatos), en ese orden. 

Vamos a fijarnos en dos números, el 50 y el 10. En este caso nos están indicando que la Tienda 1 el día en cuestión ha vendido 50 camisetas y la Tienda 2 ha vendido 10 zapatos.  

Como hemos indicado anteriormente, estos elementos los nombraremos del siguiente modo: 

El subíndice 11 indica que el número está situado en la primera fila y en la primera columna y 23 que está situado en la segunda fila y en la tercera columna. 

Esta matriz diremos que es rectangular de dimensión 2×3 (filas x columnas) y si realizamos esa multiplicación nos dice exactamente el número de elementos que tiene.

Según la dimensión que tenga la matriz reciben distintos nombres. Así una matriz formada por una sola fila (1xn) recibe el nombre de matriz fila y la que está formada por una columna (nx1), matriz columna. ¿Qué ocurrentes, verdad?

Si tiene el mismo número de filas que columnas (nxn) la llamaremos matriz cuadrada y si el número de filas es distinto que de columnas (mxn, con m distinto de n) matriz rectangular, siendo n y m números naturales mayores de cero.   

Como podemos observar las matrices nos permiten ordenar la información en forma de tabla, facilitando su lectura y análisis. Pero además nos da la oportunidad de operar con ellas con sentido lógico.

Para sumar o restar dos matrices es necesario que ambas tengan la misma dimensión mxn, si no, no se puede realizar estas operaciones.

Vamos a seguir con nuestro ejemplo para que lo interpretemos mejor. Así sean A y B dos matrices que nos expresan las ventas de productos (camisetas, pantalones, zapatos) en nuestras dos tiendas en dos días diferentes en :

La suma (o resta) matrices se realiza sumando (o restando) los elementos que ocupan la misma posición. En nuestro caso las camisetas que se venden un día en la Tienda 1 con las que se venden en esa misma el otro día y así con todos los productos de las dos tiendas. Tiene todo el sentido. 

Para obtener el 20 lo hemos hecho sumando 15 + 5 que son los pantalones que se han vendido en la Tienda 2 en ambos días. 

Además también se pueden multiplicar un número por una matriz, en este caso los elementos de la matriz quedan todos multiplicados por dicho número. Esto en matemáticas lo suelen llamar producto de un escalar por una matriz. 

Vamos a ponerle un precio a nuestros productos, supongamos que las camisetas tienen un precio de venta neto de 20 €, los pantalones 35 € y los zapatos 60 €. Ahora habrá que aplicarle el 21% de IVA que se lo sumaremos al precio neto de venta. Esta operación se puede hacer directamente multiplicando cada precio por 1,21. Este sería un ejemplo perfecto para aplicar el producto de un escalar por una matriz (en este caso matriz columna).

Y ya tenemos los PVP (precio venta al público) de nuestros productos. Las camisetas a 24,20 €, los pantalones a 42,35 € y los zapatos a 72,60 €. Tirados de precio porque son de una calidad suprema. 

Además las matrices también se pueden multiplicar, pero para hacerlo se exige un orden y que cumplan una condición indispensable. Lo haremos de izquierda a derecha y la condición que debe cumplir es que el número de columnas de la matriz de la izquierda debe ser igual al número de filas de la matriz que se encuentra a la derecha. 

Sea A una matriz formada por 4 filas y 2 columnas (4×2) y B una matriz de 2 filas y 3 columnas (2×3). En este caso como el número de columnas de A coincide con el número de filas de B se puede realizar la A · B = C. ¿Y cómo se calcula C?

El elemento de C que ocupa la primera fila y la segunda columna, por ejemplo, se calcula multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de B o el que está en la tercer fila y el tercera columna de C se halla multiplicando la tercera fila de A por la tercera columna de B tal como indica el siguiente gráfico:

Pero creo que es mejor verlo con nuestro ejemplo de las tiendas. Recordad que por un lado teníamos la matriz A + B donde se recogían las ventas de dos días en las dos tiendas (filas) de nuestros productos (camisetas, pantalones, zapatos) recogidos en columnas. Y por otro lado, teníamos los PVP de los productos representados en una matriz columna.

El orden de la matriz de ventas es 2×3 y el orden de la matriz de precios es de 3×1 por lo que podemos multiplicarlas. El resultado será una matriz de 2×1.

Os dejo los cálculos por si os queréis entretener.

Fila 1: 

80·24,20 + 65·42,35 +50·72,60=1936+2752,75+3630 = 8318,75

Fila 2:

30·24,20 + 20·42,35 + 25·72,60 = 726 + 847 + 1815 = 3388

¿Qué quiere decir esta multiplicación? Vamos a interpretarlo, la primera fila calcula los ingresos de la Tienda 1. Multiplica 80 camisetas por el precio de cada camiseta 24,20 €,  los 65 pantalones por el precio de los pantalones 42,35 €, los 50 zapatos por el precio de cada zapatos 72,60 € y lo suma todo. En total la Tienda 1 ha ingresado en estos dos días 8318,75 €.  Del mismo modo se obtienen los 3388 € en la Tienda 2. 

Esto no es un ejemplo peregrino que se me acaba de ocurrir, sino lo que hacen todos los días los ordenadores de millones de negocios en todo el mundo, claro que no trabajan con tres productos, si no con cientos o miles de referencias (columnas). 

Las Computadoras y calculadoras científicas trabajan con datos en forma matricial, lo que permite procesar gran cantidad de información rápidamente.

Sus aplicaciones en la vida real se extienden a los campos de la estadística, economía, informática, física, biología, redes sociales, gráficos por computadora, inteligencia artificial, etc.

La que lió el ordenadito que las inventó.