Trucos para dividir

Lo cierto es que teniendo un móvil en la mano como tenemos ahora para qué queremos saber dividir si sacamos la calculadora y lo hacemos en un periquete. Es más, para qué queremos saber escribir si nos lo hace el chatgpt. En esta escalada de cuestiones filosóficas podríamos preguntarnos para qué queremos saber leer si escaneamos el texto con el smartphone y nos lo puede recitar por audio; podríamos incluso, por falta de tiempo, sugerirle que nos lo resuma.

De dividir va el tema hoy, pero también de intentar contestar el por qué de las cosas, de cuestionarnos aquello que nos cuentan, ser críticos y no creernos todo lo que nos llega, así que vamos a lío…

Seguro que recordaréis de vuestra infancia los criterios de divisibilidad del 2, 3, 5,… los que tengan mejor memoria llegarán hasta el del 11, que para mí es el más chulo de todos. Pero nos lo demostraron…. no, nos lo creímos, hicimos un acto de fe, lo que dicen los matemáticas no se pone en duda.

Hoy os invito aquí a que pongamos en duda la veracidad de estos criterios y comprobemos si son o no ciertos y si los son… les daremos la razón, pero si se han equivocado lo que nos vamos a reír. 

Vamos a preparar el terreno, para ello necesitamos recordar algunos conceptos sencillos, pero básicos, para el tema que nos ocupa. 

Diremos que dos números naturales guardan relación de divisibilidad si al dividir el mayor en entre el menor ésta es exacta, es decir, el resto de la división es cero. En estos casos al mayor de los números lo llamaremos múltiplo del otro y al menor, divisor del primero. 

Pongamos algún ejemplo: 

20 y 4 guardan relación de divisibilidad porque al dividir 20 entre 4 la división es exacta, el cociente es 5 y el resto 0, 20 = 4·5 + 0. 

En estos casos el 0 lo obviamos y escribimos 20 = 4·5 y decimos que 20 es múltiplo de 4 y que 4 es divisor de 20. 

Una vez puestas las bases, creo que todavía nadie se ha perdido, sigamos avanzando.

Existe un resultado matemático bastante potente y sencillo de demostrar que dice que si un número es divisor de otros dos, entonces divide a la suma de esos dos números. 

Vamos a verlo con un ejemplo. 

Ya hemos visto que 4 es divisor de 20 y también es divisor de 16 lo que dice este resultado es que, en este caso, 4 es divisor de 36 que es la suma de 20 y 16.

Vamos a demostrarlo.

4 es divisor de 20 porque 4·5 = 20,

4 es divisor de 16 porque 4 ·4 = 16

entonces

36 = 20 + 16 = 4·5 + 4·4 = 4 ·(5 + 4) = 4·9 (por ahí he sacado factor común).

Si nos quedamos con el principio y el final 

36 = 4 ·9 

es decir, 4 es divisor de la suma 20 + 16 = 36

Esta demostración la podéis hacer para cualquier pareja de números múltiplos de un tercero y es un resultado que vamos a aplicar varias veces. 

Recordemos los criterios de divisibilidad del 2, 5 y 10.

Criterio de divisibilidad del 2

“Un número es múltiplo de 2 o divisible por 2 si su última cifra es 0 o par (2,4,6,8).”

Criterio de divisibilidad del 5

“Un número es múltiplo de 5 o divisible por 5 si termina en 0 o 5”

Criterio de divisibilidad del 10

“Un número es múltiplo de 10 o divisible por 10 si termina en 0”

¿Pensáis que nos lo han dado con queso los matemáticos en alguno de estos tres criterios? Creo que no, estos son bastante obvios, pero como hoy nos cuestionamos todo, vamos a comprobarlo. 

Lo que nos vienen a decir es que da igual lo grande o pequeño que sea un número, para saber si es múltiplo de 2, 5 o 10 lo que nos interesa es su última cifra, lo demás nos la trae al pairo (qué soez me pongo a veces).

Y resulta que es cierto, muy a nuestro pesar. 

Todos número lo podemos descomponer como un número acabado en 0 más la cifra de las unidades

Y como el número acabado en 0 de 2, de 5 y de 10 nuestro número va a ser múltiplo de 2, 5 o 10 si la última cifra es múltiplo de 2, 5 o 10 aplicando el resultado anterior. 

Pero como esto que os he dicho es muy matemático, os lo pongo con ejemplos que se ve mejor. 

Pongamos tres números: 10.586, 535, 231.520

Lo que decimos es que todos ellos los podemos descomponer del siguiente modo:

10.586 = 10.580 + 6 

535 = 530 + 5

231.520 = 231.520 + 0   

Los hemos puesto como una suma, pero el primer sumando de esas sumas: 10.580, 530 y 231.520 son múltiplos de 2, 5 y 10 (fácil), por lo que para que la suma lo sea necesitamos que el otro sumando también sea múltiplo de 2, 5 o 10. Pero precisamente, ese segundo sumando es la última cifra del número inicial. Dicho de otro modo, sólo nos tenemos que preocupar de esa última cifra, como dicen los criterios. 

Como el 6 es múltiplo de 2 (6 = 2·3) y no es múltiplo de 5 ni de 10, 10.586 sólo es múltiplo de 2.

Como el 5 es múltiplo de 5 (5 = 5·1) y no es múltiplo de ni de 2 ni de 10, 535 sólo es múltiplo de 5. 

Como 231.520 termina en 0, es múltiplo de 2, 5 y 10. 

Nuestro gozo en un pozo, por ahora el mundo matemático tiene razón, pero no perdamos la esperanza. Vamos con los criterios del 3 y del 9 que son análogos. 

Criterio de divisibilidad del 3

“Un número es múltiplo de 3 o divisible por 3 si la suma de sus cifras el múltiplo de 3.”

Criterio de divisibilidad del 9

“Un número es múltiplo de 9 o divisible por 9 si la suma de sus cifras el múltiplo de 9.”

Yo creo que aquí los vamos a pillar con el carrito del helado. Sigamos con ejemplos que se ve mucho mejor. Sean los números 1242 y 75.534

1242 = 1000 + 200 + 40 + 2  

Aquí aplicamos un truco, cualquier potencia de 10: 10, 100, 1000, 10.000… la podemos descomponer como:

10.000 = 9999 + 1 

1000 = 999 + 1 

100 = 99 + 1 

10 = 9 +1

sustituyendo

1242 = 

1000 + 200 + 40 + 2  = 

1000 + 2 ·100 + 4·10 + 2 = 

(999 + 1) + 2 · (99 + 1) + 4 · (9 + 1) + 2 =

(999 + 2 · 99 + 4 · 9) + (1 + 2 + 4 + 2) 

Pero el primer paréntesis (999 + 2 · 99 + 4 · 9) es múltiplo de 3 y de 9 siempre: 

(999 + 2 · 99 + 4 · 9) = 3·(333 + 2 · 33 + 4 · 3)

(999 + 2 · 99 + 4 · 9) = 9·(111 + 2 · 11 + 4 )

y el segundo (1 + 2 + 4 + 2)  es justamente la suma de las cifras del número 1242, por lo que será múltiplo de 3 o de 9 si suma  (1 + 2 + 4 + 2) = 9 lo es, cosa que es cierta. 

Vaya, se cumplen los dos criterios, otro chasco que nos llevamos. Lo podéis comprobar con el número 75.534 a ver qué sale. Según el criterio la suma de sus cifras es 7+5+5+3+4 = 24, que es múltiplo de 3 pero no de 9. La demostración sería análoga para éste o cualquier número que elijáis. 

Vamos a dar otro pasito, aunque con este guardo pocas esperanza:

Criterio de divisibilidad del 6

“Un número es múltiplo de 6 o divisible por 6 si lo es a la vez de 2 y de 3.”

Yo creo que aquí tenemos poco que hacer, es bastante evidente y lo podéis comprobar vosotros mismos.

Vamos con el que nos puede dar nuestro momento de gloria:

Criterio de divisibilidad del 11

“Un número es múltiplo de 11 o divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las cifras que ocupan el lugar impar es 0 o múltiplo de 11.”

Aclaremos esto de las cifras que ocupan lugar par y lugar impar:

En el número 325.974 diremos que:

El 4 ocupa la 1ª posición que se corresponde con las unidades

El 7 ocupa la 2ª posición que se corresponde con las decenas

El 9 ocupa la 3ª posición que se corresponde con las centenas

El 5 ocupa la 4ª posición que se corresponde con las unidades de millar

El 2 ocupa la 5ª posición que se corresponde con las decenas de millar

El 3 ocupa la 6ª posición que se corresponde con las centenas de millar

De esta manera las cifras 4, 9 y 2 están en los lugares impares y las cifras 7, 5 y 3 ocupan los lugares pares.

Vamos a ello, pero antes un truquillo con las potencias de 10…

• 10 = (11 – 1)

• 100 = (99 + 1) = (11 · 9 + 1)

• 1000 = (1001 – 1) = (11 · 91 – 1)

• 10.000 = (9999 + 1) = (11 · 909 + 1)

• 100.000 = (100.001 – 1) = (11 · 9091 – 1)

• 1.000.000 = (999.999 + 1) = (11 · 90909 + 1)

• 10.000.000 = (10.000.001 – 1) = (11 · 909.091 – 1)

Si nos fijamos en el 10, 1000, 100.000, 10.000.000 (vamos alternando), podríamos seguir… siempre podemos descomponerlos como un múltiplo de 11 más 1, por otro lado el 100, 10.000, 1.000.000 (también alternados), se pueden descomponer como un múltiplo de 11 menos 1.

Ya tenemos todas las herramientas para enfrentarnos a este criterio, tomemos como ejemplo el 325.974

325.974 = 300.000 + 20.000 + 5000 + 900 + 70 + 4 =

3 · 100.000 + 2 · 10.000 + 5 · 1000 + 9 · 100 + 7 · 10 + 4 =

3 · (100.001 – 1) + 2 · (9999 + 1) + 5 · (1001 – 1) + 9 · (99 + 1) + 7 · (11 – 1) + 4 =

3 · (11 · 9091 – 1) + 2 · (11 · 909 + 1) + 5 · (11 · 91 – 1) + 9 · (11 · 9 + 1) + 7 · (11 – 1) + 4 = 

(11 · 27.273 + 11 · 1818 + 11 · 455 + 11 · 81 + 7 ·11) + (-3 + 2 – 5 + 9 – 7 + 4) 

Si os fijáis el primer paréntesis  (11 · 27.273 + 11 · 1818 + 11 · 455 + 11 · 81 + 7 ·11)  es una suma de múltiplos de 11, por lo que el número será múltiplo de 11 si el segundo paréntesis es múltiplo de 11, veámoslo:

(-3 + 2 – 5 + 9 – 7 + 4) = (2 + 9 + 4) – (3 + 5 + 7)  pero esto es justamente la diferencia de las suma de las cifras en lugares pares y la suma de las cifras en lugares impares, como dice el criterio. 

(2 + 9 + 4) – (3 + 5 + 7)  = 0, según el criterio sería múltiplo de 11 y efectivamente 325.974 = 11 · 29.634 

Esta descomposición la podemos hacer con cualquier número y siempre nos queda un múltiplo de 11 más la diferencia entre sumas de cifras en lugares pares e impares. Nuestro gozo en un pozo, para los matemáticos la perra gorda, los criterios son ciertos. 

Lo hemos intentado, cuestionarse las dudas que nos embarguen siempre es bueno y llegar a conclusiones científicas nos han hecho evolucionar a lo largo del tiempo, aunque los hay por ahí que las desprecian. A veces pienso que el meteorito está a punto de llegar…